Symmetry And Group

Algbre pour la licence 3. Groupes, anneaux, corps by Jean-Jacques Risler

Posted On March 23, 2017 at 7:45 am by / Comments Off on Algbre pour la licence 3. Groupes, anneaux, corps by Jean-Jacques Risler

By Jean-Jacques Risler

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Example text

13 pour faire apparaître des zéros sous la diagonale principale. a) Soit M = (aij ) (1 i n, 1 j m). Multiplions M à gauche par la matrice L1 = L1,2 (cf. e. 11) : α β γ δ = u v , −a21 /d a11 /d u et v vérifiant d = ua11 + va21 . On a en particulier αδ − βγ = 1 et donc L1 ∈ SLn (A) et la matrice M1 = L1 M a un zéro à la place (2, 1). b) On multiplie ensuite M1 à gauche par une matrice L 2 de la forme L1,3 pour faire apparaître un zéro à la place (3, 1) (ce qui remplace d par d 1 tel que (d1 ) = (d, a31 ), et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on obtienne la matrice M n−1 = Ln−1 · · · L1 M dont la première colonne est de la forme t (dn−1 0 .

0) (les coefficients de L2,3 étant choisis pour faire apparaître un zéro à la place (3, 2)). d) Une récurrence immédiate achève la preuve. Si v := (a1 . . an ) est un vecteur ligne, on dit que v est de longueur n − p si p est le plus grand entier tel que a 1 = · · · = ap = 0 (si tous les ai sont nuls, la longueur de v est 0). 15. Soit M ∈ Mn,m (A). Il existe L ∈ SLn (A) telle que la longueur des lignes de la matrice LM décroisse strictement (en particulier LM est triangulaire supérieure dans le cas où n = m).

Soit M un A-module de torsion de type fini, (a) = ann(M ) son annulateur. Alors : M= 1. M (pi ) pi ∈P, pi |a et M (pi ) = (0) pour chaque élément irréductible p i tel que pi |a ; ··· νi2 2. Il existe une suite d’entiers ν i1 élément irréductible p i ∈ P, pi |a : νik unique telle que, pour chaque k ν A/(pi ij )) M (pi ) j=1 (ce qui est équivalent à l’existence de sous-modules M ij ⊂ M (pi ) tels que ν M (pi ) = Mij et Mij A/(pi ij )) ; 3. la décomposition : ν A/(pi ij ) M i,j est l’unique décomposition de M en produit de modules indécomposables (à isomorphisme près et à l’ordre près des facteurs).

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