Number Theory

Algebraische Zahlentheorie by Norbert Klingen

Posted On March 23, 2017 at 11:28 am by / Comments Off on Algebraische Zahlentheorie by Norbert Klingen

By Norbert Klingen

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Dann gilt β N N (α) = 1+ γ = 1± γ ∈ ZK , α α α da N α(α) = τ =id τ α ∈ ZK . Genauso folgt α β ∈ ZK und damit β = αε mit ε ∈ UK . Es gibt also in ZK h¨ ochstens (ZK : N ZK ) = NK|Q (N ) = N (K:Q ) viele nicht assoziierte Elemente der Norm ±N . 5): Als vollst¨ andiges Gitter auf H IRr+s−1 ist λUK freier ZZ-Modul vom Rang t := r + s − 1, also ∼ λU UK /µK = UK /Ke λ → K t ⊕ ZZ . i=1 Ist λεi mit εi ∈ UK (i = 1, . , t) eine Gitterbasis von λUK (wegen der ‘richtigen’ Anzahl t gen¨ ugt: ein ZZ-Erzeugendensystem), so erzeugen die εi ∈ UK zusammen mit der zyklischen Einheitswurzelgruppe µK ganz UK .

Folglich ist H isomorph IRt (t = r+s−1) und als Isomorphismus kann man jede Projektion ∼ IRt , (x ) → (x ) πl : H → i i i i=l l¨ angs einer Achse w¨ ahlen. 26) Definition: Sei K ein algebraischer Zahlk¨ orper mit der Signatur (r, s) und dem Einheitenrang t = r + s − 1. Wir setzen λ0 = πl ◦ λ : UK → IRt (wobei die Wahl von l nicht fixiert und f¨ ur das folgende unerheblich ist). ) Ist U = ε1 , . , εt ZZ eine Untergruppe von endlichem Index in der Einheitengruppe UK , so ist λ0 U ein vollst¨ andiges Gitter auf IRt und dessen Volumen nennt man den Regulator von U : t R(U ) = vol λ0 U = vol ⊕ λ0 εi ZZ = | det(λ0 ε1 , .

Es gilt u ⊥ K : ⇐⇒ u, K = 0 ⇐⇒ u, v = 0 f¨ ur alle v ∈ K ⇐⇒ u = 0 . Beweis: : Ist ui eine k-Basis von K und u = u ⊥ K ⇐⇒ i xi ui ⊥ K ⇐⇒ i 0 = u, uj = j xi ui ∈ K, xi ∈ k, so sind ¨ aquivalent: xi ui , uj i ⇐⇒ (x1 , . , xn ) ∈ kn ist L¨ osung des homogenen LGS mit Matrix ( ui, uj )ij . Wenn nur u = 0 bzw. xi = 0 diese a ullen, dann muss diese ¨quivalenten Bedingungen erf¨ Matrix regul¨ ar, also det( ui , uj ) = 0 sein. Diese Determinante ist nichts anderes als die Diskriminante d(u1, . . , un ) der k-Basis (ui ) von K.

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