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Analysis mit Mathematica und Maple: Repetitorium und by Walter Strampp

Posted On March 23, 2017 at 10:30 pm by / Comments Off on Analysis mit Mathematica und Maple: Repetitorium und by Walter Strampp

By Walter Strampp

Dieser Übungsband zur Grundvorlesung research besteht aus drei Komponenten:

- Ein theoretischer Vorspann vor jedem Kapitel enthält die wichtigsten Sätze und Begriffe als Repetitorium.
- Die Aufgaben reichen in drei Stufen von der Einübung über die Festigung eines Begriffes bis zu anwendungsorientierten Problemstellungen.Sie wurden in Lehrveranstaltungen und Klausuren erprobt. Die angegebenen Lösungen sollten als Vorschläge und Hinweise verstanden werden , die oft ergänzt, optimiert und abgekürzt werden können.
- Der Einsatz von Mathematica und Maple ist als Unterstützung für das interaktive Selbststudium gedacht und soll Anregungen und Vorschläge für eigene Experimente geben. Durch den Umgang am Rechner werden die Begriffe der konkreten Anwendung zugänglich gemacht.

Die Aufgabenstellungen sowie die Mathematica- und Maple-Rechnungen werden ins web gestellt, so daß die Benutzer leicht zu jeder Aufgabe die entsprechenden Computerrechnungen auffinden und ergänzen können. In der Kombination aus Buch und net entsteht somit ein flexibles, modernes Lernmittel zur Wiederholung und Einübung des Stoffs von zentralen Gebieten der Analysis.

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Example text

1 Begriff der Foige 33 ,;5. 2 R J 2 3+- < 3+--. 8 • •• 15 e. ••••••• 25 20 an =)3+ ~ ............... 2 30 ~ ~ I, aber nicht monoton. I, aber nicht monoton. ), ao Aus Rekursionsformein Eigenschaften von Folgen herleiten = b, fur jedes b > 0, b i= 1 folgende Eigenschaften besitzt: an > und a n+ 1 < an fur n ::: 1. v'b Man sieht sofort, daB an > 0 gilt. Wegen b =1= list ao - v'b = > v'b durch die folgende Uberlegung, die sowohl den Induktionsanfang al > v'b ais auch den InduktionsschiuB liefert: Losung: b-v'b =1= O.

Dreiecksungleichung anwenden Losung: Wir setzen u = a + b und v = a-b. Dann liefert die Dreiecksungleichung mit u + v = 2a: lu + vi = 21al ::::: lui + Ivl = la + bl + la - bl· Mit u - v = 2b ergibt sich wieder aus der Dreiecksungleichung: lu - vi = 21bl ::::: lui + Ivl = la + bl + la - bl· Durch Addition der beiden Jetzten Ungleichungen bekommen wir: 21al + 21bl ::::: 2 (Ia + bl + la - bl) , und die Behauptung folgt. 4 Vollstiindige Induktion Das Grundgesetz von der vollstandigen Induktion zieht das Beweisprinzip der vollstandigen Induktion nach sich: Vorgelegt werde eine Aussage (Behauptung): A(n) tiber die natiirlichen Zahlen N.

2 S ... 2: aO + n S . Dies steht aber im Widerspruch zur Beschriinktheit. = _. 25397} Maple: > a: =proc(n) a(n-1)+(3/4)/a(n-1) end; > a(0):=1/2; a := proc(n) a(n - 1) + 3/4 x l/a(n - 1) end 1 a(O) := 2 > seq(eva1f(a(n),5),n=1 .. Ji)n , = qn macht. Losung: Durch die Rekursionsvorschrift wird die Folge eindeutig festgelegt. Sie stellt diejenige Lasung von an+2 - 2 an+ 1 - an == 0 dar, die ao == 3,a1 == 4 erfiillt. Mit dem Ansatz an == qn bekommen wir: qn+2_ 2q n+l_ q n==0 also ql == 1 + h, die Gestalt q2 == 1 - (1 + an == Cl q2_ 2q _ q ==0, bzw.

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