Number Theory

Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der by Helmut Hasse

Posted On March 23, 2017 at 9:42 am by / Comments Off on Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der by Helmut Hasse

By Helmut Hasse

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Example text

Die in ihm auftretende ~ ist als Verallgermod. fx meinerung der bekannten Gaußsehen Summen 41) anzusehen und wird daher ebenfalls Gaußsehe Summe in k genannt. Die Funktionalgleichung liefert nun zunächst die Tatsache, daß der absolute Betrag dieser Gaußsehen Summen ~ (x(r) · ~ eh>s) I= VN(fz) Ir mod. fx (9) (~) 1 ist. In der Tat folgt einerseits durch zweimalige Anwendung der Funktionalgleichung W(x) · W(x) = 1, andererseits ist aber, wie man auf Grund der Erklärung der ~ leicht t mod. r. r.

M1 erklärten Repräsentanten von H, ferner a ein Ideal, wie es nach Def. 2 existieren muß und b = (mu m1 ). Es genügt zu zeigen, daß alle zu einem geeigneten Ideal b primen Ideale des Strahles H~b) in H(m,) enthalten sind; denn dann setzt sich ja das von den zu b nicht primen Idealen befreite H(m,) aus einer Gruppe von ebenso befreiten Strahlklassen mod. b zusammen, was nach Def. 2 die "Gleichheit" von H(m,) mit einer Idealgruppe mod. b bedeutet. Wir wählen nun b = am 1 m2 • Ist dann cx eine zu b prime Körperzahl, für die cx = 1 mod.

44, Anm. *) zitierten Stelle. H. HAssE: Bericht iiber Klassenkörper 42 schiadenen Ringklassen entsprechen nach der weiteren Modulgruppe irräquivalente Basisquotienten. Ist nun -r11 ... , -r;;;m ein vollständiges Repräsentantensystem von Basisquotienten der km Ringklassen mod. , J( 'r;;;m), (die sog. Klasseninvarianten von Hm), wegen der Invarianz von j(-r) gegenüber Substitutionen der weiteren Modulgruppe, unabhängig von den gewählten Repräsentanten den hm Ringklassen eineindeutig zugeordnet. Es zeigt sich dann auf Grund funktionentheoretischer und arithmetischer Eigenschaften der Funktion j ('r;) (In gewisser Weise analog wie vorhin beim Kreisteilungskörper aus denen der Exponentialfunktion e2 n:i~), daß die Klasseninvarianten j ('r;1) von H m ganze algebraische Zahlen sind, und daß ein zu einem geeigneten Multiplum m von m primes Primideall.

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