Number Theory

Complex multiplication of Abelian varieties and its by Goro Shimura, Yutaka Taniyama

Posted On March 23, 2017 at 11:46 am by / Comments Off on Complex multiplication of Abelian varieties and its by Goro Shimura, Yutaka Taniyama

By Goro Shimura, Yutaka Taniyama

Complicated multiplication of Abelian kinds and its functions to quantity thought, (Publications of the Mathematical Society of Japan)

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H. eine nichttriviale L¨osung. Beweis. Weil es die triviale L¨ osung (0, . . , 0) gibt, gilt A(S) ≥ 1. Außerdem ist A(S) durch p teilbar, weshalb es mindestens noch p − 1 weitere L¨osungen geben muss. Beispiel: Die Gleichung X12 + X22 + X32 = 0 hat eine nichttriviale L¨osung modulo jeder Primzahl p. 1. Zun¨ achst betrachten wir f¨ ur jedes u ∈ IN bliche Konvendas Monom X u (also eine Variable, Grad u). Wir setzen die u ¨ tion, dass X 0 das konstante Monom 1 ist. 3. Die Summe s(X u ) := xu x∈ZZ/pZZ ist gleich 0 f¨ ur u = 0 und wenn u ≥ 1 und nicht durch p − 1 teilbar ist.

2 gilt somit p − 1 = ord (¯ g) | (r − 2n) und folglich ist r gerade. g r/2 )2 . 5. In ZZ/pZZ gibt es genau quadratische Nichtreste. p−1 2 quadratische Reste und p−1 2 Beweis. 6 durchlaufen die Werte g r , r = 1, . . , p − 1, genau die primen Restklassen modulo p. 4 sind die quadratischen Reste genau die Werte mit geradem Exponenten und die quadratischen Nichtreste genau die Werte mit ungeradem Exponenten. Eine Quadratzahl n2 ist offenbar quadratischer Rest modulo aller Primzahlen p mit p n. F¨ ur eine feste ganze Zahl a, die keine Quadratzahl ist, stellt sich die Frage, ob a quadratischer Rest (bzw.

2. Sind die konstanten Terme von f1 , . . , fn s¨amtlich gleich 0 n und gilt i=1 grad(fi ) < r, so hat das System (S) in ZZ/pZZ eine von (0, . . h. eine nichttriviale L¨osung. Beweis. Weil es die triviale L¨ osung (0, . . , 0) gibt, gilt A(S) ≥ 1. Außerdem ist A(S) durch p teilbar, weshalb es mindestens noch p − 1 weitere L¨osungen geben muss. Beispiel: Die Gleichung X12 + X22 + X32 = 0 hat eine nichttriviale L¨osung modulo jeder Primzahl p. 1. Zun¨ achst betrachten wir f¨ ur jedes u ∈ IN bliche Konvendas Monom X u (also eine Variable, Grad u).

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