Number Theory

Einführung in Algebra und Zahlentheorie by Rainer Schulze-Pillot

Posted On March 23, 2017 at 11:44 am by / Comments Off on Einführung in Algebra und Zahlentheorie by Rainer Schulze-Pillot

By Rainer Schulze-Pillot

Das Buch bietet eine neue Stoffzusammenstellung, die elementare Themen aus der Algebra und der Zahlentheorie verknüpft und für die Verwendung in Bachelorstudiengängen und modularisierten Lehramtsstudiengängen konzipiert ist. Es führt die abstrakten Konzepte der Algebra in stetem Kontakt mit konkreten Problemen der elementaren Zahlentheorie und mit Blick auf Anwendungen ein und bietet Ausblicke auf fortgeschrittene Themen. In beiden Gebieten wird ein Stand erreicht, der für Nichtspezialisten das nötige Handwerkszeug für die meisten Anwendungen (etwa in diskreter Mathematik, Kryptographie oder Signalverarbeitung) vermittelt, aber auch zu einer vertieften Beschäftigung mit Algebra und Zahlentheorie anregt und für diese eine gute Ausgangsbasis bildet.
Für die zweite Auflage wurden ein ergänzendes Kapitel über Galoistheorie und ein ergänzender Abschnitt über Anwendungen der Theorie endlicher Körper auf zyklische fehlerkorrigierende Codes neu aufgenommen.

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Br¨ udern3 und die dort angegebene weiterf¨ uhrende Literatur empfohlen. 5 Sieb des Eratosthenes Nach diesem Exkurs kommen wir jetzt wieder zu Aussagen u ¨ ber Primzahlen und u ugbaren Mitteln ¨ber Faktorzerlegungen, die wir mit den gegenw¨artig verf¨ beweisen k¨ onnen. 3 J. 15. Sei n ∈ N, n > 1, sei p(n) der kleinste Primteiler von n. Dann gilt √ p(n) ≤ n . Beweis. Klar. 16. (Erster Primzahltest) Sei n ∈√N, n > 1. n ist genau dann Primzahl, wenn n durch keine Primzahl p ≤ n teilbar ist. Beweis.

Eine Zahl m ∈ Z heißt quadratfrei, wenn gilt: Ist n ∈ Z mit n2 | m, so ist n ∈ {±1}. Zeigen Sie: a) m ∈ Z \ {0, ±1} ist genau dann quadratfrei, wenn in der Zerlegung n = μ r ± j=1 pj j in ein Produkt von Potenzen verschiedener Primzahlen pj alle Exponenten μj gleich 1 sind. b) Jedes m ∈ Z \ {0} kann eindeutig als m = df 2 mit quadratfreiem d und f ∈ N zerlegt werden. 4. Sei d ∈ Z kein Quadrat und √ √ R = Z[ d] = {a + b d | a, b ∈ Z} ⊆ C. Zeigen Sie, dass R mit den Verkn¨ upfungen von C ein Ring ist.

Ak ) ein Teiler von c ist. b) Ist die Bedingung in a) erf¨ ullt, so findet man eine L¨osung der Gleichung, indem man mit ggT(a1 , . . , ak ) = d zun¨achst durch wiederholte Anwendung des euklidischen Algorithmus Zahlen k x1 , . . xk mit aj xj = d j=1 bestimmt und anschließend xj = xj · c d setzt. c) F¨ ur k = 2 sei (x0 , y0 ) eine spezielle L¨osung der Gleichung ax + by = c. Dann sind die s¨amtlichen L¨osungen der Gleichung genau die (x, y) mit b x = x0 + t, d a y = y0 − t d f¨ ur t ∈ Z. ur die Beweis.

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