Number Theory

Einführung in die algebraische Zahlentheorie by Alexander Schmidt

Posted On March 23, 2017 at 12:01 pm by / Comments Off on Einführung in die algebraische Zahlentheorie by Alexander Schmidt

By Alexander Schmidt

Das vorliegende Buch gibt eine Einführung in die Grundgedanken der modernen Algebraischen Zahlentheorie, einer der traditionsreichsten und gleichzeitig heute besonders aktuellen Grunddisziplinen der Mathematik. Ausgehend von Themenbereichen, die üblicherweise der elementaren Zahlentheorie zugeordnet werden, führt es anhand konkreter Problemstellungen zu den Techniken, die das Herz der modernen Theorie ausmachen. Hierbei wird besonderer Wert auf Lokal-Global-Prinzipien für diophantische Gleichungen gelegt. Die Dedekindsche Theorie der Ideale wird für den Fall quadratischer Zahlkörper vollständig entwickelt. Es werden die p-adischen Zahlen eingeführt und der berühmte Satz von Hasse-Minkowski über reason quadratische Formen bewiesen. Der technische Apparat wird behutsam und nur so weit entwickelt, wie es für die konkreten Fragestellungen nötig ist. Daher können weite Teile des Buches ohne Vorwissen gelesen werden. Umfangreiches Übungsmaterial rundet die Darstellung ab.

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H. eine nichttriviale L¨osung. Beweis. Weil es die triviale L¨ osung (0, . . , 0) gibt, gilt A(S) ≥ 1. Außerdem ist A(S) durch p teilbar, weshalb es mindestens noch p − 1 weitere L¨osungen geben muss. Beispiel: Die Gleichung X12 + X22 + X32 = 0 hat eine nichttriviale L¨osung modulo jeder Primzahl p. 1. Zun¨ achst betrachten wir f¨ ur jedes u ∈ IN bliche Konvendas Monom X u (also eine Variable, Grad u). Wir setzen die u ¨ tion, dass X 0 das konstante Monom 1 ist. 3. Die Summe s(X u ) := xu x∈ZZ/pZZ ist gleich 0 f¨ ur u = 0 und wenn u ≥ 1 und nicht durch p − 1 teilbar ist.

2 gilt somit p − 1 = ord (¯ g) | (r − 2n) und folglich ist r gerade. g r/2 )2 . 5. In ZZ/pZZ gibt es genau quadratische Nichtreste. p−1 2 quadratische Reste und p−1 2 Beweis. 6 durchlaufen die Werte g r , r = 1, . . , p − 1, genau die primen Restklassen modulo p. 4 sind die quadratischen Reste genau die Werte mit geradem Exponenten und die quadratischen Nichtreste genau die Werte mit ungeradem Exponenten. Eine Quadratzahl n2 ist offenbar quadratischer Rest modulo aller Primzahlen p mit p n. F¨ ur eine feste ganze Zahl a, die keine Quadratzahl ist, stellt sich die Frage, ob a quadratischer Rest (bzw.

2. Sind die konstanten Terme von f1 , . . , fn s¨amtlich gleich 0 n und gilt i=1 grad(fi ) < r, so hat das System (S) in ZZ/pZZ eine von (0, . . h. eine nichttriviale L¨osung. Beweis. Weil es die triviale L¨ osung (0, . . , 0) gibt, gilt A(S) ≥ 1. Außerdem ist A(S) durch p teilbar, weshalb es mindestens noch p − 1 weitere L¨osungen geben muss. Beispiel: Die Gleichung X12 + X22 + X32 = 0 hat eine nichttriviale L¨osung modulo jeder Primzahl p. 1. Zun¨ achst betrachten wir f¨ ur jedes u ∈ IN bliche Konvendas Monom X u (also eine Variable, Grad u).

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