Number Theory

Einführung in die Gitterpunktlehre by Prof. Dr. François Fricker (auth.)

Posted On March 23, 2017 at 11:25 am by / Comments Off on Einführung in die Gitterpunktlehre by Prof. Dr. François Fricker (auth.)

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Example text

Die Gesamtlosungszahl r 4(U) von (9) wird also im Faile u == 1 mod 4 durch (10) auf die Halfte reduziert: 5. (12) r~(u) = ~ r4(U). 1st dagegen u == 3 mod 4, so ist genau ein x; in (9) gerade und dies kann wiederum nur x~ oder x~ sein. Darum stimmt (12) fiir aile u. d. 6. Urn den nachsten Hilfssatz formulieren und beweisen zu konnen, fiihren wir die Funktionen p(n) und p'(n) ein. Sie sollen die Losungen von (3) mit lauter ungeraden und positiven bzw. lauter ungeraden Xi zahlen. Zwischen diesen heiden Funktionen besteht der Zusammenhang (13) p'(n) = 16p(n).

Andrerseits ist naeh Definition unserer Abbildung 2 (8) 2 2 a +n 2 = (2qfx o + afyo + nz o) + 2qxo + 2ax oyo + ~ Yo' Dalan iie~t man ab, dass ~~ +,~ + 11~ ganz ist, da dies ja wegen (3) fUr die reehte Seite zutrifft. Wegen (5) und (2q;n) = 1 gilt sogar 2 ;:2 r2 2 f2 2 2 2 a +n 2 <"0 + '>0 + 110 == (2q xo + ayo) + 2qxo + axoyo + 2q Yo == 2q(2qp + == 0 mod n, Zusammen mit (7) bedeutet dies (9) ~6 + '6 + 116 = n. 1)x6 + 2a(2qp + l)xoyo + a2(2qf2 + 1) + n 2q Y6 23 §5 Der Dreiquadratesatz 8. Benutzt man in (8) Formel (3), so bekommt man auch a + (6 + 116 = '6 + 2(q x 6 + axoyo + hy6)· Wir setzen w=qx6+axoyo+hY6 (10) und haben nunmehr mit (9) (11) '0 n=,6+2w.

FUr aIle u E [a,b] an. Wegen A. > 0 bedeutet dies insbesondere, dass f'(u) in [a,b] streng monoton wachst. Deshalb tritt genau einer der drei folgenden Faile ein: I) f'(u) >0 fUr aIle uE(a,b); II) f'(u) <0 fUr aile uE(a,b); III) Es existiert c E (a,b) mit f'(u) < 0 fUr aIle u E (a,c) und f'(u) > 0 fUr aIle u E (c,b). 1m FaIle I) nehme man folgende Zerlegung vor: b (6) S e(f(u))du=II +1 2, a wo a+l- I 1= S b I /2 e(f(u))du, 12 = a S a+), -1/2 e(f(u))du. (Bei dieser Zerlegung wurde b - a > A. - 1/2 vorausgesetzt, was aber keine wesentliche Einschrankung ist, da andernfalls die Behauptung des Hilfssatzes trivial wird).

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