Number Theory

Einführung in die Zahlentheorie by Professor Dr. Peter Bundschuh (auth.)

Posted On March 23, 2017 at 11:45 am by / Comments Off on Einführung in die Zahlentheorie by Professor Dr. Peter Bundschuh (auth.)

By Professor Dr. Peter Bundschuh (auth.)

Aus den Besprechungen: "Die vorliegende, umfangreiche Einführung berücksichtigt stärker als andere die historische Entwicklung. Das bedeutet nicht, daß der Autor grundsätzlich die ersten in der Literatur vorliegenden Beweise gewählt hat, sondern daß er angibt, wer die entsprechenden Sätze gefunden hat und wie sie im Laufe der Zeit verschärft und verallgemeinert wurden. Das ist eines der Unterscheidungsmerkmale von anderen Einführungen in die Zahlentheorie. Ein zweites liegt in der Betonung der Theorie der Diophantischen Approximation, genauer in den Untersuchungen über Irrationalität und Transzendenz. guy findet zu diesem Thema auch als Kenner überraschende Schlüsse. (...) Die Darstellung ist ausführlich, sehr intestine lesbar und kommt ohne spezielle Kenntnisse aus. Das Buch kann daher jedem Studenten schon im nullten Semester empfohlen werden." #Monatshefte für Mathematik#1

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Dln Wegen t0 , lo: E M\ {0} gilt O"o: E M\ {0} nach Proposition 8. Wegen (uo:(2)) 2 = (1 +2<>) 2 = 1 + 2o:+l +4 01 =/:- 1 +2o: +4 01 = uo:(4) ist kein O"o: strengmultiplikativ. Wie die folgende Formel lehrt, gehen u o: und u -o: in einfacher Weise auseinander hervor: u_ 01 (n) =L d-o: = n- 01 dln L (J) o: = n-o:(to: * t )(n) = n-<>uo:(n). 3 anwendet. 7. Die Funktionen O"o: verallgemeinern also die früheren r, u. h. (2) to * '1/Jo: = tOt. Nach Definition der MÖBIUS-Funktion ist dies mit (3) äquivalent; insbesondere ist '1/Jo = E:.

Fnk] = lllm. (viii') Bei k ~ 2 ist [[nt, ... , nk-I], nk] = m. Hier entspricht die Numerierung offenbar derjenigen für die analogen Regeln über den ggT in 5. Sind nun ni für i = 1, ... , k natürliche Zahlen mit der kanonischen Primfaktorzerlegung ni = TIP pvp(n;), vgl. 6(2), so bestätigt der Leser leicht die Richtigkeit von [n }, ... x(vp(nl), ... ,vp(nk)) • p Eine analoge Formel gilt übrigens für den ggT (n1, ... , nk) mit Min statt Max in den Exponenten rechts. Schließlich sei dem Leser der Beweis der folgenden idealtheoretischen Deutung des kgV überlassen: Für ganze, nichtverschwindende nt, ...

Sind m 1 , ... , mt irgendwelche ganze Zahlen, so schreibt man m 17l + ... + mt'll für die Menge aller ganzen Zahlen der Form E~=l ffijXj, wobei der Vektor (xb ... 'Xt) ganz zt durchläuft. In der Sprechweise der Algebra ist m 17l + ... •. , mt erzeugte Ideal in 'll. In dieser Terminologie läßt sich der ggT wie folgt interpretieren (vgl. 6): Satz. Das von ganzen nb ... , nk, nicht alle Null, erzeugte Ideal n 17l+ ... +nk'll in 7l stimmt überein mit dem Ideal (n 1, ... , nk)'ll in 'll. Beweis. Man setzt J := n 17l + ...

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