Number Theory

Elementare und algebraische Zahlentheorie: Ein moderner by Stefan Müller-Stach

Posted On March 23, 2017 at 11:05 am by / Comments Off on Elementare und algebraische Zahlentheorie: Ein moderner by Stefan Müller-Stach

By Stefan Müller-Stach

Das Buch wendet sich an alle, die in die klassischen Themen der Zahlentheorie einsteigen wollen. Neben den Standardthemen wie Primzahlen, Rechnen modulo n, quadratische Reste und Kettenbrüche werden auch die fortgeschrittenen Bereiche wie p-adische Zahlen, quadratische Formen und Zahlkörper am Beispiel der quadratischen Zahlkörper behandelt. Viel Wert wird auf die konkrete Berechenbarkeit bei allen Problemlösungen gelegt. So gibt es auch Abschnitte über moderne Primzahltests und Faktorisierungsalgorithmen und am Ende des Buches wird ein Weg zur Bestimmung der Klassenzahl der quadratischen Zahlkörper aufgezeigt.
Im Rahmen der Bachelor-/Master-Studiengänge eignet sich das Buch als Grundlage für zwei Semester: ein Aufbaumodul in elementarer Zahlentheorie mit einem Vertiefungsmodul in algebraischer Zahlentheorie.

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Sample text

Falls es eine Position ´i0 j0 µ in der Restmatrix gibt, so dass ri0 j0 0, aber ri0 j 0 f¨ur alle j j0 und ri j0 0 f¨ur alle i i0 , tausche man die i0 –te Zeile mit der ersten Zeile der Restmatrix und die j0 –te Spalte der Restmatrix mit der ersten Spalte und vergesse diese neue erste Zeile und Spalte der Restmatrix. Diesen Schritt wiederholen wir so oft wie m¨oglich. 3. Falls es keine Restmatrix mehr gibt, sind wir fertig. 4. Suche in der Restmatrix das Element ri0 j0 mit dem kleinsten Betrag ungleich Null.

Seien h1 ∑g¾S ng g und h2 ∑g¾S mg g mit endlichen S¼ S¼ ¼ S zwei beliebige Elemente aus H. Wir setzen ng 0 f¨ur g ¾ S¼¼ Ò S¼ und mg 0 f¨ur g ¾ S¼ Ò S¼¼ . 4 Sei G eine beliebige Gruppe, deren Verkn¨upfung wir multiplikativ schreiben. Zeigen Sie, dass f¨ur ein g ¾ G gilt: g gn n ¾ . 5 Jede zyklische Gruppe ist abelsch. Beweis: Da wir a priori noch nicht wissen, dass eine zyklische Gruppe G abelsch ist, schreiben wir die Verkn¨upfung in G multiplikativ. Nach der vorangegangenen Aufgabe ist G gn n ¾ .

Die Eigenschaften des Legendre–Symbols vererben sich auf das Jacobi–Symbol. So h¨angt es nur von a modulo n ab und ist multiplikativ in a. Seine Multiplikativit¨at in n folgt direkt aus der Definition. 12 (Reziprozit¨atsgesetz fur ¨ das Jacobi–Symbol) Seien m che Zahlen. Dann gilt 1. 2. 1 3 ungerade nat¨urli- 1µ . n 1 2 ´ n 2 n n 1 µ ´ n2 1 8 . m 1 ¡ n 1 m n 2 ´ 1µ 2 . n m Beweis: Nach den bisherigen Ergebnissen gilt der Satz, falls n und m Primzahlen sind. Da ¡ das Jacobi–Symbol mn multiplikativ in n und m ist, reicht es f¨ur den Beweis des Satzes aus, 3.

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