Number Theory

Logische Grundlagen der Mathematik by Ralf Schindler

Posted On March 23, 2017 at 10:52 am by / Comments Off on Logische Grundlagen der Mathematik by Ralf Schindler

By Ralf Schindler

Das Buch vermittelt logisches Grundwissen, fundamentale Beweisprinzipien, Methoden und Einsichten, welche jede Mathematikerin/jeder Mathematiker besitzen sollte. Folgenden Fragestellungen wird dabei nachgegangen: used to be unterscheidet endliche von unendlichen Mengen? Wie lassen sich die ganzen, rationalen und reellen Zahlen aus den natürlichen Zahlen und letztere aus reinen Mengen konstruieren? Welche grundlegenden mengentheoretischen Konstruktionen werden hierfür und überhaupt in der Mathematik gebraucht? Welche grundlegenden topologischen Eigenschaften besitzt die Menge der reellen Zahlen? Wie lautet die Kontinuumshypothese? Wofür wird das Auswahlaxiom benötigt? Lassen sich die natürlichen oder reellen Zahlen vollständig axiomatisch beschreiben? Mit Hilfe der Ultrapotenzmethode werden Nichtstandard-Zahlen konstruiert. Darüber hinaus wird ein leicht zugänglicher Beweis des Ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes geliefert."

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Beweis: Im Falle von Z l¨ asst sich eine Bijektion f : N → Z wie folgt angeben. Es sei f (2n) = n und f (2n+1) = −n. Im Falle von Q ist es etwas trickreicher, eine Bijektion g : N → Q anzugeben, welches wir wie folgt leisten. 11), d. h. p0 = 2, p1 = 3, p2 = 5, ur m ∈ N, Pm die Menge aller n ∈ N, n ≥ 2, p4 = 7, . . Sei, f¨ so dass pm die kleinste Primzahl ist, die n teilt. (Z. B. ist ur m ∈ N, m ≥ 1, Tm die P1 = {3, 9, 15, . ) Weiter sei f¨ Menge aller n ∈ N, n ≥ 1, so dass 1 der gr¨ oßte gemeinsame Teiler von m und n ist.

Sei ε > 0. Sei n0 so, dass f¨ Dann gilt f¨ ur alle n ≥ n0 : 2−x2n ≤ yn2 −x2n = (yn −xn )(yn + xn ) ≤ (yn − xn ) · 2yn < 14 · ε · 4 = ε, und damit x2n ≥ 2 − ε. ) Also ur alle ε > 0, woraus x2 ≥ 2 folgt. V¨ollig gilt x2 ≥ 2 − ε f¨ analog zeigt man x2 ≤ 2. Also gilt x2 = 2. 2! 3 besagt, dass Q nicht vollst¨ andig ist: es gibt in Q verlaufende Cauchy-Folgen, die nicht in Q konvergieren. Wir werden nun Q vervollst¨ andigen“. ” ¨ Wir definieren dazu zun¨ achst eine Aquivalenzrelation auf der Menge der (rationalen) Cauchy-Folgen.

2 Die Theorie der nat¨ urlichen Zahlen 29 riablen zweiter Stufe. 3 bei der Axiomatisierung von R wieder begegnen, wo man auch geneigt ist, Variablen erster Stufe (n¨amlich Variablen f¨ ur reelle Zahlen) und Variablen zweiter Stufe (n¨ amlich Variablen f¨ ur Mengen reeller Zahlen) einzuf¨ uhren. Der Preis, der f¨ ur die Einf¨ uhrung von Variablen zweiter Stufe zu zahlen ist, ist allerdings, dass dann Mengenexistenzaxiome erforderlich sind, die nicht ben¨otigt werden, wenn in der Sprache nur Variablen erster Stufe (n¨amlich Variablen f¨ ur Elemente des Bereichs, u ¨ber den man gerade spricht, nicht f¨ ur Mengen derartiger Elemente) verwendet werden.

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