Symmetry And Group

Matrizen und Lie-Gruppen: Eine geometrische Einfuhrung by Wolfgang Kühnel

Posted On March 23, 2017 at 10:27 am by / Comments Off on Matrizen und Lie-Gruppen: Eine geometrische Einfuhrung by Wolfgang Kühnel

By Wolfgang Kühnel

Dies ist eine Einführung in die mathematische Theorie der Lie-Gruppen. Etwa die erste Hälfte des Buches handelt von Matrizengruppen. Abstrakte Konzepte (auch Mannigfaltigkeiten) werden erst in der zweiten Hälfte vorgestellt. Zur Motivation und zum besseren historischen Verständnis sind kurze Texte klassischer Autoren (wie Sophus Lie selbst) mit eingeflochten. Außerdem gibt es zur Anschaulichkeit ein eigenes Kapitel, das ausschließlich von diversen geometrischen Transformationsgruppen handelt. Dabei wird konkret auf die klassischen Geometrien eingegangen.
Als Vorkenntnisse werden nur die üblichen Studieninhalte des ersten Jahres im Mathematik- oder Physik-Studium vorausgesetzt, soweit sie die research und die Lineare Algebra betreffen. Das Buch beginnt damit auf sehr elementarem Niveau. Alles andere wird nicht nur eingeführt, sondern alle Sätze werden auch bewiesen. Auf Verständlichkeit wird großen Wert gelegt. Daher eignet sich das Buch insbesondere als Begleittext zu Lehrveranstaltungen (auch Proseminaren) in den Bachelor-Studiengängen, aber auch im Lehramtsstudium und zum Selbststudium.
Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben mit Lösungshinweisen oder vollständiger Lösung.

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Die Gruppe H1 wird deshalb auch Spin-Gruppe genannt und mit Spin(3) bezeichnet. Die 8 Standard-Quaternionen ±1, ±i, ±j, ±k in H1 entsprechen dabei den Matrizen 0 i 0 1 i 0 1 0 , ± , ± , ± ± i 0 −1 0 0 −i 0 1 Die Quaternionen in SU (2). Diese ⎛ 1 0 ⎝ 0 1 0 0 23 werden unter R auf die vier reellen Drehmatrizen ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 0 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 ⎠ , ⎝ 0 −1 0 ⎠, ⎝ 0 1 0 ⎠ , ⎝ 0 −1 0 ⎠ 1 0 0 1 0 0 −1 0 0 −1 abgebildet, die eine Untergruppe von SO(3) bilden, die isomorph zur Kleinschen Vierergruppe Z2 ⊕ Z2 ist.

Die ” ur q = 1. Daher muss die Determinante aus Determinante von Rq ist aber gleich 1 f¨ Stetigkeitsgr¨ unden f¨ ur jedes q gleich 1 sein, also haben wir Rq ∈ SO(3). Offensichtlich gilt Rq = R−q . h. Rq = Rp ⇔ q = ±p. Also erhalten wir eine Abbildung R: H1 → SO(3) durch R(q) = Rq , die u ¨berdies ein Gruppenhomomorphismus ist: R(q1 q2 )(x) = (q1 q2 )x(q1 q2 )−1 = q1 (q2 xq2−1 )q1−1 = R(q1 ) R(q2 )(x) = R(q1 ) · R(q2 ) (x). Damit folgt einerseits, dass SO(3) in nat¨ urlicher Weise mit dem Raum der Antipodenpaare S 3 /± (also dem 3-dimensionalen reellen projektiven Raum) identifiziert werden kann, und andererseits, dass es wegen der oben diskutierten Isomorphie von H1 und SU (2) auch einen Gruppenhomormophismus SU (2) → SO(3) gibt, der genauso wirkt wie der Homomorphismus R oben, also jeweils zwei Antipoden“ Aq und A−q = −Aq in SU (2) ” auf eine Drehmatrix Rq = R−q in SO(3) abbildet.

10 (euklidische Gruppe) Die euklidische Gruppe E(n, R) ist erkl¨ art als die Untergruppe von A(n, R), die von allen Translationen sowie der orthogonalen Gruppe O(n) erzeugt wird, die auf dem Rn in der u ¨blichen Weise operiert (mit festgehaltenem Urprung). Die Elemente von E(n, R) heißen euklidische Transformationen oder auch euklidische Bewegungen. Die Gruppe E+ (n, R) der eigentlichen euklidischen Bewegungen wird erzeugt von allen Translationen und der speziellen orthogonalen Gruppe SO(n), also E+ (n, R) = ¨ E(n, R) ∩ Aq(n, R).

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