Zahlen by Heinz-Dieter Ebbinghaus, Hans Hermes, Friedrich Hirzebruch,
By Heinz-Dieter Ebbinghaus, Hans Hermes, Friedrich Hirzebruch, Max Koecher, Klaus Mainzer, Alexander Prestel, Reinhold Remmert (auth.)
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A = m . B, n - a < m . b genau dann, wenn n . A < m . B. Zahlreiche Siitze der Proportionenlehre konnen wir heute als Rechengesetze fUr reelle Zahlen deuten. Man muB allerdings beachten, daB die Griechen nicht einmal rationale, geschweige denn irrationale Verhiiltnisse als Erweiterungen des Bereichs der natiirlichen Zahlen auffaBten, sondern als Begriffe eigener Art ansahen. Das Ziel der Proportionenlehre sind geometrische Ergebnisse, wie beispielsweise die exakte Begriindung zahlreicher Formeln zur Fliichen- und Inhaltsberechnung.
Becker [2], S. ). Auch die Bestimmung der Kreisflache durch ein- und umbeschriebene Polygone ist ein Verfahren der Intervallschachtelung. Es war S. STEVIN, der urn 1594 die Rechentechnik der Dezimalbruchentwicklung benutzte und eine reelle Zahl durch Intervallschachtelung bestimmt, ohne dieses Verfahren jedoch allgemein herauszustellen (vgl. 3). 1m 19. Jahrhundert wurden Intervallschachtelungen beim Beweis einiger zentraler Satze der Analysis benutzt. Auf B. BOLZANO [4] geht ein Versuch zuriick, die reellen Zahlen durch gewisse Intervallfolgen zu definieren, urn damit CAUCHYS Konvergenzkriterium zu beweisen.
Fuhrt man die Dedekindsche Schnittbildung erneut uber IR durch, erhiilt man nichts Neues: Zu jedem Schnitt a in IR gibt es ein }' E IR, so daB a = {rx E IR:}' < rx} ist. Man nimmt namlich das Infimum}' = U~Ea rx von a. Diesen Sachverhalt druckt DEDEKIND durch den Satz aus, der als drittes Motto uber diesem Kapitel steht. Die anderen beiden Motti (ARISTOTELES und LEIBNIZ) zeigen, daB die zugrunde liegende Vorstellung des zusammenhangenden Kontinuums sehr alt ist. , vertragt sich mit der Anordnung.